sâmbătă, 29 iulie 2017

O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Un comentariu:

  1. Pentru orice numere $a, b, c \in \mathbb{R}$ avem :

    $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab + ac + bc$

    Mai întâi observăm că :

    $a^2 + b^2 \geqslant 2ab$ , care înseamnă $(a-b)^2 \geqslant 0$ (lucru evident).

    Scriind analoagele :

    $a^2 + c^2 \geqslant 2ac$

    $b^2 + c^2 \geqslant 2bc$ , şi adunând membru cu membru avem :

    $2a^2+2b^2+2c^2 \geqslant 2ab + 2ac + 2bc$ , simplificăm cu $2$

    (...după o prealabilă scoatere în factor comun a lui $2$) şi avem :

    $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab + ac + bc$

    RăspundețiȘtergere