luni, 20 martie 2017

Inegalitate importantă

O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$

(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)

OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$

APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}  + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $

Un comentariu:

  1. dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ - după aducerea la același numitor și apoi renunțarea la el (fiind pozitiv) ajungem la $(x-1)^2 \geqslant 0$

    RăspundețiȘtergere