duminică, 30 iulie 2017

Noțiuni despre divizibilitate

Despre divizibilitatea în N se discută cel mai mult, evident... Câteva cuvinte despre EXTINDEREA divizibilităţii de la N la Z, noţiuni legate de c.m.m.d.c.

Notăm c.m.m.d.c. (a,b) cu (a,b) şi  c.m.m.m.c. (a,b) cu [a,b]

A lucra pe exemple este uneori mai relevant şi uşor de înţeles.
Dacă (6,9) = 3 atunci cine este de exemplu (-6,9) sau (-6,-9) ?...

În cazul divizibilităţii în Z (deci şi cu negative) avem de fapt doi de c.m.m.d.c. Adică putem scrie (-6,9) = 3 dar şi (-6,9) = -3 .
Deci atât 3 cât şi -3 sunt c.m.m.d.c. ai lui -6 şi 9.

Dar cum cel pozitiv este evident mai mare decât negativ se poate scrie (-6,9) = 3, însă asta se face doar pentru simplitate.
(Evit intrarea în amănunte de Algebră superioară, ce se studiază în facultate)


Observaţie : Prin DEFINIŢIE se ia (0,0) = 0

Teorema lui Pitagora generalizată

Dintr-un motiv sau altul se fac anumite «confuzii» privitoare la Teorema lui Pitagora generalizată. Sunt 2 aspecte:
- Se consideră că această teoremă este EXACT Teorema cosinusului
- Se dorește folosirea acestei teoreme la clasa a 7-a și a 8-a, chiar sub forma trigonometrică, fără să se țină cont de faptul că trigonometria în cadrul gimnaziului se folosește doar pentru unghiuri ascuțite (cu măsuri strict mai mari decât 0° și strict mai mici decât 90°). Acest fapt poate duce la greșeli...


OBSERVAȚIE - Puteam duce înălțimea din celălalt capăt al laturii date, din B.
Consideram aceasta ca fiind BE (cu E aflat pe dreapta AC - nu neapărat în interiorul segmentului AC) și puteam scrie:

$AB^2=AC^2+BC^2−2⋅AC⋅CE$ dacă C este ascuțit și

$AB^2=AC^2+BC^2+2⋅AC⋅CE$ când C e obtuz.

Problemă de Aritmetică

Aflați numerele prime de forma $\overline{abc}$ știind că:

$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$

Rezolvare

$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$

$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$

$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)

$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$

Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.

sâmbătă, 29 iulie 2017

O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Inegalități între fracții


Dintre numerele $0,75$ și $\dfrac{2}{3}$ mai mare este...

$0,75 ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...transformăm în fracții ordinare.

$\dfrac{75}{100} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ... simplificăm prima fracție cu 25.

$\dfrac{3}{4} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...aducem fracțiile la același numitor.

$\dfrac{9}{12} ~~~ \square ~~~ \dfrac{8}{12}$ ...deci primul număr este mai mare.

luni, 20 martie 2017

Știați că...

Gauss și-a dat seama încă din anul 1800 (la vârsta de 23 de ani) că «Postulatul lui Euclid» (axioma paralelelor) nu poate fi demonstrat, ba mai mult, și-a dat seama că se pot construi geometrii distincte de cea «euclidiană» renunțând la acest postulat privitor la drepte paralele. 

Dat fiind faptul că el nu a publicat niciodată rezultatele sale ele au fost regăsite independent de Lobacevski (1826) și de Bolyai (1832). Geometria creată de ei (în mod independent) se numește geometrie hiperbolică.

În spaţiul tridimensional există trei tipuri de geometrii de curburi constante. La toate sunt valabile primele patru axiome ale lui Euclid, dar la fiecare din acestea, axioma paralelelor se formulează diferit.

Astfel, «geometria plată cotidiană» este o geometrie euclidiană (sau parabolică). 
Geometriile neeuclidiene sunt: geometria hiperbolică (geometrie Bolyai-Lobacevski-Gauss)  și geometria eliptică (geometrie riemanniană - a lui Bernhard Riemann). 

Inegalitate importantă

O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$

(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)

OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$

APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}  + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $

Rapoarte și Proporții

Problemă. (Nivel: clasa 6)
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu 3 numere întregi consecutive. Atunci triunghiul are un unghi de 60 de grade.

Rezolvare : Notăm cu $A, B, C$ valorile numerice ale unghiurilor.
Din ipoteză există un $n$ întreg așa încât:

$\dfrac{A}{n} = \dfrac{B}{n+1} = \dfrac{C}{n+2}$

Folosind proprietățile rapoartelor derivate, egalitatea multiplă de mai sus o putem continua cu:

$\dfrac{A+B+C}{n+(n+1)+(n+2)}$ ...care este egală cu $\dfrac{180}{3(n+1)} = \dfrac{60}{n+1}$

Deci avem $\dfrac{B}{n+1} = \dfrac{60}{n+1}$ adică $B = 60$. QED

Identitatea lui Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$

Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.

Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.

Rezolvare

Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$

$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$

Structură an școlar 2016-2017

Structura anului şcolar 2016-2017

Anul şcolar 2016-2017 începe luni, 12 septembrie, are 35 de săptămâni de cursuri, însumând 169 de zile lucrătoare, structurat în două semestre.

Semestrul I (12 septembrie 2016 - 3 februarie 2017)
Semestrul II (13 februarie 2017 - 16 iunie 2017).

Vacanţele sunt programate astfel:
- Vacanţa de iarnă (24 decembrie 2016 - 8 ianuarie 2017),
- Vacanţă intersemestrială (4 -12 februarie 2017)
- Vacanţa de primăvară (19 - 30 aprilie 2017)
- Vacanţa de vară (17 iunie - 10 septembrie 2017).
- În săptămâna 29 octombrie - 6 noiembrie 2016, clasele din învăţământul primar şi preşcolar sunt în vacanţă.

Pentru clasele terminale din învăţământul liceal anul şcolar se încheie în data de 26 mai 2017, iar pentru clasa a VIII-a în data de 9 iunie 2017.

«Școala altfel» - (5 zile consecutive lucrătoare)
Unităţile de învăţământ (învăţământul gimnazial, liceal, profesional şi postliceal) pot opta pentru unul dintre următoarele segmente:
17 octombrie - 2 decembrie
27 februarie - 31 martie
15 mai - 9 iunie 2017